Matematica are reputația unei științe exacte și riguroase în care nici o afirmație nu rezistă fără o demonstrație logică, bine pusă la punct. Spre deosebire de științele experimentale, în care un adevăr descoperit poate fi contextual, datat istoric, poate fi reevaluat și modificat în acord cu observațiile, cu avansul tehnologiei și chiar al teoriilor care organizează experimentele, o teoremă matematică reprezintă un adevăr imuabil. Ceea ce face ca mulți să nici nu așeze matematica printre științe, ci mai aproape de artă – dar asta e o altă discuție. Tocmai de aceea nu e deloc simplu de înțeles locul intuiției în cercetarea matematică. Ea are însă un rol important și intră, în proporții variate, în procesele mentale ale fiecărui matematician. Cu mențiunea că, ghidată și ea, dintru început, de anumite obișnuințe ale matematicianului, ține seama de restricțiile impuse de regulile logicii și de axiomele sistemului în care operează.
Nu de puține ori s-a întîmplat, în istoria matematicii, ca rezultate sau teorii minunate să apară inițial complet neriguros, rod al unor intuiții de neînțeles sau chiar de neacceptat pentru contemporani. Cazul Ramanujan e celebru (măcar mulțumită filmului omonim). Mult înainte, Euler făcuse calcule de un curaj uluitor cu funcția zeta, în legătură cu numerele Bernoulli. Un exemplu-școală e analiza matematică, ramura care operează cu infinitul continuu. Germenii au apărut încă din Antichitate, la Arhimede, care folosea o metodă (a exhaustiei) de calcul al limitelor avant la lettre. Nu era nimic formalizat, nu era nimic riguros – dar funcționa. Pe la sfîrșitul secolului al XVI-lea, la începutul a ceea ce azi numim revoluția științifică, Galilei și apoi continuatorii lui, Cavalieri și Torricelli, au avut intuiția „infinitezimalelor“, mărimi fără o definiție precisă, infinit de mici, dar pe care le gîndeau, de fapt, discret – punct lîngă punct pe o dreaptă, sau dreaptă peste dreaptă acoperind o arie (în plus, nu prea făceau distincție între lumea fizică și cea a obiectelor matematice). Se ajungea repede la contradicții logice, nu trebuia să fii foarte perspicace ca să înțelegi că, dacă punctele aveau mărime zero, era greu ca, oricîte ai fi pus alături, să acoperi un segment de lungime pozitivă. Totuși, folosind infinitezimalele, Cavalieri a putut calcula ariile unor figuri complicate – metoda lui e pomenită și azi, sub numele „principiul lui Cavalieri“ –, Torricelli a calculat în mai multe moduri aria unui segment de parabolă (rezultatul era cunoscut, dar metoda era nouă), iar Wallis, în Anglia, cîteva zeci de ani mai tîrziu, a făcut calcule și mai complicate, ajungînd la o bună estimare a lui π. Cum totul era neriguros și plin de contradicții logice, iezuiții, mult atașați regulilor și pentru care idealul unei teorii științifice prezentate riguros era geometria euclidiană, s-au opus cu înverșunare introducerii infinitezimalelor în programa colegiilor lor. Nu cred că trebuie blamați foarte tare: școala dovedeşte o mare inerţie și azi, în programele școlare intră numai teoriile bine verificate.
Totuși, intuițiile „infinitezimaliștilor“ s‑au dovedit corecte, dar au căpătat consistență abia după ce Newton și Leibniz au fondat analiza matematică și, treptat, calculul cu infinitul mare și mic – limite, continuitate, derivate, integrale – s-a formalizat. A durat mult, peste o sută de ani, a trebuit să apară Cauchy, Weierstrass și încă mulți alții, pînă cînd analiza matematică să devină teoria limpede pe care o studiem și o folosim azi – și încă: mulți dintre utilizatori nu înțeleg bine ce e acel „epsilon oricît de mic“. O explicație diferită de cea obișnuită încearcă analiza nonstandard, eliminînd tocmai formalismul lui „epsilon-delta“, dar nu știu să existe programe școlare sau universitare care să o includă.
Despre prima parte a acestei aventuri, pînă la Newton, vorbește Infinitezimal, cartea lui Amir Alexander recent apărută la Humanitas, în colecția dirijată de Vlad Zografi. Povestea e spusă captivant, dar accentul nu e pus pe istoria matematicii, ci pe confruntarea de idei din epocă, dominată de înfruntarea dintre contrareforma iezuiților și răspîndirea protestantismului în Europa Continentală, de lupta dintre parlamentarism și monarhie în Anglia. Alexander pictează în culori vii această pagină de istorie a culturii, dar face și apropieri hazardate, chiar nocive, între, de pildă, o matematică intuitivă, neriguroasă și spiritul liberal, democratic și, de cealaltă parte, între rigoare matematică și respingere a liberalismului – că e cel puțin riscant o dovedește un Bertrand Russell, logician și democrat, liberal convins. Chiar subtitlul cărții mi se pare nepotrivit: „Cum a contribuit la făurirea lumii moderne o teorie matematică periculoasă“. E nevoie de multă circumspecție cînd translatăm idei din sfera politică sau ideologică în cea științifică, iar amestecul planurilor nu face neapărat bine științei (de-ar fi să ne gîndim doar cît de mult a fost întîrziată recunoașterea geometriei neeuclidiene de teama lui Gauss de „strigătele beoțienilor“). Cartea acordă spații poate prea mari descrierii contextului istoric, cultural, social – adastă, de exemplu, mult asupra lui Hobbes și a teoriei sale politice, chiar asupra ridicolelor sale încercări matematice (ca mulți diletanți, era convins că a rezolvat cuadratura cercului…), asupra organizării colegiilor iezuite, dă detalii despre matematicienii iezuiți, despre începuturile Societății Regale din Londra, face biografiile personajelor principale etc. E incitantă prin chiar ipotezele riscate lansate: de exemplu, Alexander crede că declinul de mai multe secole al matematicii italiene s-a datorat neacceptării de către iezuiți a infinitezimalelor. Dar cartea ratează, cred, în bună măsură, esențialul: nu explică de ce intuițiile lui Galileo, Cavalieri, Torricelli, Wallis erau corecte, de ce funcționau metodele lor. Nu e o carte de istoria matematicii – poate nici nu s-a vrut. Dar e bine scrisă și merită citită ca una de istorie a ideilor.